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La mwbqlogica (dal mwbggreco λόγος, mwbwmwcalogos, ovvero "parola", "pensiero", "idea", "argomento", "ragione", da cui poi λογική, mwcqlogiké) è lo studio delle relazioni di mwcginferenza tra mwcwproposizioni,cite-ref-1[1] cioè lo studio delle leggi del mwearagionamento e della mweqdimostrazione, generalmente definita come una branca della mwegfilosofia e la scienza dell'mwewargomentazione.cite-ref-2[2]cite-ref-3[3] Ciò che studia sono i principi della dimostrazione e dell'inferenza valida, gli mwhaerrori, i mwhqparadossi e la nozione di mwhgverità. La logica è sia mwhwformale che mwiainformale. La logica e le sue applicazioni giocano un ruolo centrale nella mwiqfilosofia, nella mwigmatematica, nell'mwiwinformatica, nell'mwjaintelligenza artificiale e nella mwjqlinguistica. Attraverso le sue applicazioni negli ambiti appena citati è possibile impiegare i risultati della logica all'analisi del mwjgragionamento e delle mwjwargomentazioni.

La mwkqlogica formale è la scienza che studia le regole di mwkginferenze tra enunciati e le loro condizioni di validità. È una mwkwscienza formale perché le relazioni di inferenza sono studiate a partire da un linguaggio matematicamente costruito, e le condizioni di validità sono studiate interpretando il linguaggio su strutture semantiche matematicamente definite.cite-ref-4[4] Lo studio delle inferenze e delle condizioni di validità può essere unito, a seconda dei sistemi logici studiati, dai mwmateoremi di mwmqcompletezza e di mwmgcorrettezza. Inoltre, i sistemi logici possono essere classificati come mwmwdecidibili, per i quali è possibile dare un mwnaalgoritmo che in un numero finito di passi permetta di stabilire se un dato enunciato della logica sia o meno una verità logica, e non decidibili, per i quali non è possibile fornire tali algoritmi.cite-ref-5[5] La logica formale può essere deduttiva o induttiva. Le logiche deduttive studiano le relazioni di inferenza per cui è necessariamente vero che se tutte le premesse sono vere, allora la conclusione è vera. Le logiche induttive studiano le relazioni di inferenza per cui è possibile che tutte le premesse siano vere e che la conclusione sia falsa. Un esempio di logica formale deduttiva di cui si possono provare completezza, correttezza e decidibilità è la mwoqlogica proposizionale. Un esempio di logica formale induttiva di cui si possono provare i teoremi di completezza e di correttezza, ma che non è decidibile è la mwoglogica del prim'ordine.

La mwpalogica informale, invece, studia la teoria dell'mwpqargomentazione, il mwpgpensiero critico e le mwpwfallacie logiche. La differenza principale tra la logica formale e la logica informale è data dal fatto che, mentre la logica formale studia le regole di inferenza tra proposizioni espresse in linguaggi artificiali definiti su modelli semantici matematici, la logica informale studia il modo in cui identificare le inferenze negli argomenti presentati nelle lingue naturali in contesti reali e il modo in cui valutarne debolezze e punti di forza.cite-ref-6[6]cite-ref-7[7]

La logica studia le inferenze, che consistono in un insieme di premesse e un insieme di conclusioni. Le premesse e le conclusioni sono mwtgproposizioni definite dalla loro struttura sintattica e dall'interpretazione semantica datagli. Nella logica formale le proposizioni complesse sono costituite, secondo regole di costruzione definite mwtwricorsivamente, da proposizioni più semplici legate tra loro dagli operatori logici. Tutti i linguaggi logici sono definite a partire dai mwuaconnettivi proposizionali, che permettono di creare enunciati complessi a partire dagli enunciati atomici. A seconda dei sistemi logici, il linguaggio può essere esteso con i mwuqquantificatori o con gli mwugoperatori modali. Nella logica informale, qualsiasi proposizione grammaticalmente corretta della lingua naturale studiata può essere considerata una possibile premessa o una possibile conclusione. La verità di una proposizione dipende dalle mwuwdenotazioni dei suoi costituenti. Le proposizioni logicamente vere costituiscono un caso speciale perché la loro verità dipende solo dalla forma sintattica che possiedono e non dalla interpretazione semantica (denotazione) che gli si attribuisce.

Le relazioni inferenziali possono essere corrette o non corrette. Una inferenza è corretta se le sue premesse supportano la sua conclusione. La forma di inferenza più forte si trova nelle inferenze deduttive, in cui è impossibile che le premesse siano vere e la conclusione sia falsa. Forme deboli di inferenza sono le inferenze mwvqinduttive e mwvgabduttive. Entrambe sono forme ampliative di inferenza, perché permettono di arrivare a conclusioni che ampliano le informazioni disponibili, ma in cui è possibile che tutte le premesse siano vere e che la conclusione sia falsa. Le inferenze induttive sono tutte le inferenze in cui è possibile che le premesse siano vere e la conclusione falsa e assumono spesso la forma di mwvwgeneralizzazioni o di mwwacorrelazioni statistiche. Le inferenze abduttive sono quelle che mirano ad analizzare le relazioni di spiegazione migliore.cite-ref-0-8-0[8] Molti argomenti presentati nel discorso quotidiano e nelle scienze sono argomenti che impiegano forme di inferenza ampliative.

• Origine del termine

• Discipline di studio

• Storia della logica

• Filosofia antica

• Dal Medioevo all'età moderna

• Logica contemporanea

• Note

• Bibliografia

• Voci correlate

• Altri progetti

• Collegamenti esterni

Il termine λογικός (loghikòs) compare in tutta la mwyastoria della filosofia antica precedente e successiva alla dottrina aristotelica (da mwyqEraclito a mwygZenone di Elea, dai mwywsofisti a mwzaPlatone) con il significato generico di "ciò che concerne il λόγος" (mwzqlogos), nel senso molteplice di "ragione", "discorso", "legge" ecc. che ha questa parola in greco.cite-ref-9[9]

Alla logica aristotelica fu attribuito anche il termine di "mwawOrganon" («strumento») che si ritrova invece per la prima volta in mwbaAndronico di Rodi (I secolo a.C.) e ripreso da mwbqAlessandro di Afrodisia (II-III secolo d.C.)cite-ref-10[10] che lo riferì agli scritti aristotelici che hanno come tema l'Analitica che è il termine che usa propriamente Aristotele per indicare la risoluzione ("analisi" dal mwcggreco ἀνάλυσις - analysis- derivato di ἀναλύω - analyo - che vuol dire "scomporre, risolvere nei suoi elementi") del ragionamento nei suoi elementi costitutivi.

Dopo Aristotele nella scuola stoicacite-ref-11[11] i termini ἡ λογική (τέχνη) (mweae loghiké tékne), τὰ λογικά (mweqtà loghikà) assumono il significato tecnico di «teoria del giudizio e della conoscenza» intendendo non solo la mweggnoseologia ma anche la struttura formale del pensiero. Ed è con questo ultimo valore di organizzazione scientifica delle leggi che assicurano non la verità, ma la correttezza del pensiero, che Aristotele si dedicò all'elaborazione della mwewlogica, termine da lui ancora non utilizzato.cite-ref-12[12]

Tradizionalmente, la logica è una degli ambiti di studio della filosofia. Oltre a essere stata studiata dalla tradizione che ha origine dalla mwggfilosofia greca, la logica è stata studiata, con metodologie non completamente sovrapponibili, anche da altre tradizioni culturali sviluppatesi in mwgwCina e in mwhaIndia.cite-ref-13[13]cite-ref-14[14]

Lo studio della logica fu identificato per la prima volta come disciplina autonoma da mwjgAristotele, che le assegnò un ruolo fondamentale in filosofia. Nel mwjwmedioevo lo studio della logica faceva parte del mwkamwkqtrivium, che includeva anche mwkggrammatica e mwkwretorica. Tuttavia, in seguito alla sua matematizzazione, avvenuta a partire dall'Ottocento, lo studio della logica si è, da un lato, allontanato dalla grammatica e dalla retorica, e, dall'altro lato, ha coinvolto ed è stato applicato ad ambiti come la mwlamatematica, la mwlqlinguistica, la mwlgsemantica e l'mwlwinformatica.

In ambito filosofico, sono di particolare interesse le logiche che studiano le varie forme di modalità (mwmqlogica modale, mwmglogica modale epistemica, mwmwlogica deontica) e la logica dei condizionali. Tutte queste logiche hanno importanti applicazioni dello studio dell'ontologia e della metafisica, dell'epistemologia e dell'etica.cite-ref-15[15]cite-ref-16[16]cite-ref-17[17]cite-ref-18[18]cite-ref-19[19] Inoltre, la logica ha applicazioni importanti anche nella mwsqteoria della decisione e nella mwsgteoria dei giochi.cite-ref-20[20]cite-ref-21[21]

In ambito matematico, la logica ha subito importanti impulsi dal mwvaprogramma di Hilbert, il quale ha dato un primo decisivo impulso alla mwvqteoria della dimostrazione.cite-ref-22[22] Importanti contributi sono arrivati anche dai lavori di mwwgGiuseppe Peano e di mwwwGottlob Frege, i quali per primi hanno provato a fornire un linguaggio formale cui si potessero applicare regole di inferenza valide e che potesse essere di base per la formalizzazione della dimostrazione matematica. I lavori di Peano, Frege e mwxaHilbert, furono di base per il tentativo di riduzione della matematica alla logica portato avanti da mwxqBertrand Russell e mwxgAlfred North Whitehead e culminato nei volumi del loro mwxwPrincipia Mathematica.cite-ref-23[23] La mwzalogica matematica contemporanea può essere divisa nelle due branche della teoria della dimostrazione e della mwzqteoria dei modelli che studiano, rispettivamente, l'aspetto sintattico e l'aspetto semantico dei sistemi formali.cite-ref-24[24]cite-ref-25[25]

All'interno della logica si studiano tre diversi tipi di inferenze. L'inferenza mw1wdeduttiva, in cui non è possibile che le premesse siano vere e la conclusione falsa. Questa proprietà delle inferenze deduttive è detta mw2avalidità. Tutte le inferenze che non sono valide, sono dette inferenze non deduttive. Queste si raggruppano in due sotto categorie.cite-ref-0-8-1[8] Da un lato le inferenze mw3qinduttive, che partendo da un numero finito di casi generalizzano a tutti i casi. Dall'altro lato, le inferenze mw3gabduttive, in cui l'inferenza è volta a stabilire l'ipotesi che spiega nel migliore dei modi una proposizione. Anche grazie alla critica rivoltagli da mw3wDavid Hume, l'induzione è stata vista da molti filosofi come una forma errata di inferenza.cite-ref-26[26]cite-ref-27[27] Tuttavia, va sottolineato che questa non è una posizione unanime e che l'ambito di ricerca riguardante le logiche induttive è florido.cite-ref-28[28] Le ricerche concernenti l'mw7aabduzione hanno origine dai lavori del filosofo mw7qCharles Sanders Peirce, che coniò il termine. Sebbene non ci sia accordo unanime riguardo a cosa fosse esattamente inteso da Peirce con abduzione, è chiaro dai suoi scritti che egli si riferiva al tipo di ragionamento non deduttivo e non induttivo che sottende alla scoperta delle spiegazioni scientifiche.cite-ref-1-29-0[29] Invece, nella ricerca logica contemporanea, l'abduzione riguarda i rapporti di giustificazione tra proposizioni che rappresentano delle ipotesi e le proposizioni che rappresentano i fatti da spiegare.cite-ref-0-8-2[8]cite-ref-1-29-1[29] Pertanto, mentre l'abduzione così com'è intesa da Peirce è una forma di ragionamento o lo studio di un certo tipo di ragionamento, nella logica contemporanea l'abduzione è lo studio di un tipo di relazioni di giustificazione tra le proposizioni che rappresentano le ipotesi e le proposizioni che rappresentano i fatti da spiegare.

In senso più lato, fanno parte dello studio della logica informale anche l'mw-wanalisi logica della proposizione e dell'mw-aanalisi logica del periodo.

La mwaqalogica classica è la mwaqescienza che tratta tutta la validità e le articolazioni di un discorso in termini di nessi mwaqideduttivi, relativamente alle proposizioni che lo compongono.

In mwaquOccidente, i primi sviluppi di un pensiero logico che consentisse di spiegare la natura a partire da argomentazioni coerenti e razionali si sono avuti con i mwaqypresocratici.

mwaqgPitagora riteneva che la mwaqkmatematica fosse la legge fondamentale del mwaqopensiero, una legge che gli dava vita e forma secondo la propria struttura; egli inoltre vedeva nel mwaqsnumero il fondamento non solo del pensare, ma anche della realtà. Il legame indissolubile tra la dimensione ontologica e quella gnoseologica resterà una costante della mwaqwfilosofia greca: per mwaq0Parmenide e la mwaq4scuola di Elea, la logica formale di non-contraddizione, che è la regola a cui sottostà ogni pensiero, è infatti anche legge dell'mwaq8Essere,cite-ref-jaspers-30-0[30] che ne risulta vincolato in maniera mwarqnecessaria: «La dominatrice Necessità lo tiene nelle strettoie del limite che tutto intorno lo cinge; perché bisogna che l'Essere non sia incompiuto».cite-ref-31[31] La tesi parmenidea dell'immutabilità dell'Essere, che «è e non può non essere», fu un primo esempio di logica dei predicati,cite-ref-jaspers-30-1[30] incentrata cioè su una stringente coerenza tra il mwar0soggetto e il mwar4predicato; essa venne fatta propria dal suo discepolo mwar8Zenone di Elea, il quale ricorrendo all'uso dei mwasaparadossi mise in atto una mwasedimostrazione per assurdo per confutare le obiezioni degli avversari.

Accanto a questo tipo di logica lineare (chiamata anche mwasmdialettica),cite-ref-32[32] propria degli eleati, mwasgEraclito sviluppava una dottrina mwaskantidialettica, basata sull'interazione e la complementarità di due realtà contrapposte, che anziché escludere i paradossi in quanto ritenuti "illogici", li accoglieva come un dato di fatto. Eraclito tuttavia evidenziava anche come quelle contraddizioni altro non fossero che variazioni superficiali di un identico sostrato, che celavano la trama segreta dell'unico mwasomwasslogos.cite-ref-33[33] In che misura la dottrina eraclitea del mwatalogos si opponesse al principio di non-contraddizione risulta pertanto poco chiaro, ed era oggetto di discussione tra gli stessi antichi greci.cite-ref-34[34]

In mwatyPlatone la logica si configura come mwatcdialettica, ossia come la ricostruzione matematica dei collegamenti fra le mwatgIdee che stanno a fondamento della realtà. Le Idee, strutturate gerarchicamente, recuperano sia il rigore logico di Parmenide (non contengono contraddizioni), sia il principio eracliteo della diversificazione (mwatkmwatodiairesis), dando luogo a una divisione mwatsdicotomica in sotto-classi, dove i singoli aspetti in cui si articola ognuna di esse appaiono in contrasto tra loro su un piano mwatwimmanente, ma accomunati a un livello superiore e mwat0trascendente. Platone anticipa così - in maniera informe - il principio di non contraddizione, poi successivamente elaborato nel famoso libro Γ (mwat4gamma) della mwat8Metafisica di Aristotele. La logica dialettica non è tuttavia per Platone una scienza mwauaassoluta, la quale rimane accessibile soltanto per la via suprema dell'mwaueintuizione. Come già nell'eleate Zenone, la dialettica platonica non fa cogliere di per sé la mwauiverità, ma consente semmai di procedere alla confutazione degli errori e dei paradossi facendo uso del principio di non contraddizione.

mwauoAristotele, riassumendo le diverse posizioni sin qui espresse, diede alla logica un'impostazione sistematica.cite-ref-35[35] Per Aristotele essa coincide col mwau8metodo deduttivo, l'unico per lui dotato di conseguenzialità necessaria e stringente, come appare evidente nel mwavasillogismo. Il sillogismo è un ragionamento concatenato che, partendo da due premesse di carattere generale, una "maggiore" e una "minore", giunge ad una conclusione coerente su un piano particolare. Sia le premesse che la conclusione sono proposizioni espresse nella forma mwavesoggetto-mwavipredicato. Un esempio di sillogismo è il seguente:

1. Tutti gli uomini sono mortali;

2. Socrate è uomo;

3. dunque Socrate è mortale.

Come in mwavgPlatone, tuttavia, la logica aristotelica rimane uno strumento, che di per sé non dà automaticamente accesso alla mwavkverità. Essa può prendere avvio dalle premesse formulate dall'mwavointelletto, che attraverso l'mwavsintuizione perviene alla conoscenza di concetti universali, da cui la logica trae soltanto delle conclusioni formalmente corrette, scendendo dall'universale al particolare.cite-ref-36[36] Ma può discendere anche da forme arbitrarie di pensiero, come l'mwawaopinione. Ne consegue che se le premesse sono false, anche il risultato sarà falso. Quella di Aristotele è pertanto una logica formale, lineare, indipendente dai contenuti, che parte da principi primi non dimostrati, dato che proprio da questi deve scaturire la dimostrazione. Come spiega negli mwaweAnalitici Secondi, solo l'mwawiintuizione intellettuale, situata a un livello sovra-razionale, può dare ai sillogismi un fondamento reale e oggettivo.

«Ora, tra i possessi che riguardano il pensiero e con i quali cogliamo la verità, alcuni risultano sempre veraci, altri invece possono accogliere l'errore; tra questi ultimi sono, ad esempio, l'opinione e il ragionamento, mentre i possessi sempre veraci sono la scienza e l'intuizione, e non sussiste alcun altro genere di conoscenza superiore alla scienza, all'infuori dell'

intuizione

. Ciò posto, e dato che i princípi risultano più evidenti delle dimostrazioni, e che, d'altro canto, ogni scienza si presenta congiunta alla ragione discorsiva, in tal caso i princípi non saranno oggetto di scienza; e poiché non può sussistere nulla di più verace della scienza, se non l'intuizione, sarà invece l'intuizione ad avere come oggetto i princípi. Tutto ciò risulta provato, tanto se si considerano gli argomenti che precedono, quanto dal fatto che il principio della dimostrazione non è una dimostrazione: di conseguenza, neppure il principio della scienza risulterà una scienza. E allora, se oltre alla scienza non possediamo alcun altro genere di conoscenza verace, l'intuizione dovrà essere il principio della scienza.»

(Aristotele, Analitici secondi, 100b 16cite-ref-37[37])

Negli mwawkAnalitici primi Aristotele espone invece le leggi che guidano la logica: non dimostrabili neanch'esse, ma intuibili solo in forma immediata,cite-ref-38[38] sono il mwaw4principio di identità, per il quale A = A, e quello di mwaw8non-contraddizione, per cui A ≠ non-A (mwaxamwaxetertium non datur). Da queste leggi egli concluderà come sia «impossibile che il medesimo attributo, nel medesimo tempo, appartenga e non appartenga al medesimo oggetto e sotto il medesimo aspetto».cite-ref-39[39]

A differenza della deduzione, che ha carattere necessario, l'mwaxcinduzione muove viceversa dal particolare all'universale, e non può avere quindi alcuna pretesa di consequenzialità logica: partendo infatti da singoli casi particolari, non potrà mai approdare a una legge universale logicamente stringente.cite-ref-40[40] La logica aristotelica pertanto è solo deduttiva, una "logica induttiva" sarebbe per lui una contraddizione in termini.cite-ref-41[41]

La logica così teorizzata da Aristotele resterà valida almeno fino al mwayiXVII secolo. Un ulteriore contributo venne successivamente dallo mwaymstoicismo, per il quale la logica non è solo uno strumento al servizio della mwayqmetafisica, ma si pone come disciplina autonoma rispetto agli altri campi di indagine;cite-ref-42[42] essa comprendeva, oltre alla mwaykgnoseologia e alla mwayodialettica, anche la mwaysretorica. Per "logica" infatti gli stoici intendevano non solo le regole formali del mwaywpensiero che si conformano correttamente al mway0mway4Lògos, ma anche quei costrutti del mway8linguaggio con cui i pensieri vengono espressi. Non a caso mwazaLògos può significare sia mwazeragione che discorso; oggetto della logica quindi sono proprio i mwazilògoi, ossia i ragionamenti espressi in forma di proposizioni (mwazmlektà). Mentre quella aristotelica è stata una logica dei mwazqpredicati, quella stoica può essere pertanto considerata una mwazulogica proposizionale, in quanto incentrata sullo studio della coerenza tra proposizioni (ad esempio mwazypiove o mwazcnon piove), e dei rapporti tra i significati. Il sillogismo aristotelico fu ampliato, venendo inteso in un senso non solo mwazgdeduttivo, ma anche mwazkipotetico. In maniera simile alla gnoseologia aristotelica, per gli stoici il criterio supremo della mwazoverità è l'evidenza, che le assegna quel carattere di scienza necessario per poter distinguere correttamente il vero dal falso.cite-ref-43[43]

Il contenuto dei significati e la loro origine sono stati approfonditi dalla logica mwaaemedievale, specie dalla mwaaiscolastica che distinse tra mwaamlogica minor e mwaaqlogica maior. Nel Rinascimento, con il mwaaumwaayNovum Organum, mwaacFrancesco Bacone cercò di costruire una nuova metodologia basata sull'mwaaginduzione impostando la logica come strumento di indagine scientifica. Riprendendo questi temi mwaakRené Descartes cercò di stabilire se il rigore tipico di un discorso matematico potesse essere alla base di qualsiasi sapere, compreso quello filosofico.

Sempre sul calcolo matematico mwaasThomas Hobbes pensò la logica come una combinazione di segni e regole. mwaawGottfried Leibniz e i suoi seguaci cercarono poi di unificare il complesso delle strutture logico/linguistiche in un linguaggio scientifico universale, ossia la "logica simbolica e combinatoria".

Ancora nel mwabmSettecento il contributo delle correnti filosofiche non portò a sostanziali innovazioni nello sviluppo della logica moderna. mwabqImmanuel Kant nella sua mwabumwabyCritica della ragion pura definì la mwabclogica trascendentale come una parte della logica generale che, a differenza di quella puramente mwabgformale, indaga le condizioni di validità della conoscenza umana in riferimento ai concetti empirici.cite-ref-44[44] Il problema di Kant era ricercare una giustificazione al modo in cui la mwab0scienza moderna sembrava potesse ampliare le nostre conoscenze sul mondo.

Kant distinse in proposito le mwab8proposizioni logiche, altrimenti dette mwacaanalitiche, da quelle empiriche. Le prime non possono essere contraddette, pur essendo tautologiche in quanto esprimono un concetto già implicito necessariamente nelle premesse, mentre quelle empiriche sono delle constatazioni di fatto in cui il predicato non è compreso nel soggetto: queste ultime sono pertanto mwacesintetiche, in quanto collegano, o uniscono, un contenuto ad un altro diverso. Nessuna delle due tipologie risultava però in grado di ampliare il nostro sapere sul mondo, dato che le proposizioni analitiche non aggiungono alcuna mwaciconoscenza alle premesse, mentre quelle empiriche, basate su un dato contingente, erano prive di universalità. Kant ritenne allora di individuare un terzo tipo di proposizione, che pur essendo sintetica non derivasse dall'esperienza: le proposizioni mwacmsintetiche a priori,cite-ref-hosle-45-0[45] su cui giustificare la pretesa della scienza di essere valida. In quest'ultimo tipo egli faceva rientrare anche le proposizioni della mwacgmatematica.

In seguito, mwacoGottlob Frege cercherà di dimostrare che l'aritmetica sia completamente da ricondurre alla logica e che, pertanto, essa sia costituita da proposizioni puramente analitiche. Altri studiosi del mwacsmwacwCircolo di Vienna hanno contestato l'esistenza dei mwac0giudizi sintetici a priori.cite-ref-hosle-45-1[45]

Kant si era comunque mantenuto all'interno della logica formale di non-contraddizione, che sarebbe stata di lì a poco rinnegata da mwadmHegel, in favore di una nuova logica che fosse insieme forma e contenuto, e in cui, in maniera simile ad mwadqEraclito, ogni realtà coincidesse mwadudialetticamente col suo opposto. Nel tentativo di eliminare ogni riferimento alla mwadytrascendenza, Hegel rigettò quelle filosofie che ponevano a fondamento della mwadcdeduzione logica un atto mwadgintuitivo di natura sovra-razionale, e trasformò il metodo deduttivo in un procedimento a spirale che giungesse infine a giustificarsi da solo. Veniva così abbandonata la mwadklogica classica aristotelica: mentre quest'ultima procedeva in maniera lineare, da A verso B, la mwadodialettica hegeliana procede in maniera circolare: da B fa scaturire C (sintesi), che è a sua volta la validazione di A.

Nella seconda metà del mwad0XIX secolo la mwad4logica formale, che sembrava aver raggiunto la sua completa maturità già con mwad8Aristotele, subì una profonda evoluzione. In primo luogo, mwaeaGeorge Boole e la scuola di algebristi di mwaeeOxford svilupparono il primo studio sistematico delle strutture algebriche che sottendono alla logica proposizionale.cite-ref-46[46] Grazie a questi studi fu possibile dare nuovo impulso alla ricerca riguardante la logica proposizionale, che ignorata dalla logica aristotelica era stata analizzata dalla logica stoica senza raggiungere la maturità della logica dei sillogismi.

Parallelamente, la logica venne studiata da mwaecWilhelm Wundt con metodi di psicologia sperimentale, volti a indagare le caratteristiche psicologiche delle inferenze umane. Lo studio della psicologia della logica, che ambiva a dare un nuovo fondamento alla disciplina, fu oggetto di feroci critiche da parte di Frege che determinarono, insieme ai successivi sviluppi della mwaeglogica matematica, la fine della ricerca psicologica come branca della logica.cite-ref-47[47]

La logica contemporanea, però, nacque con gli studi di mwae4Gottlob Frege il quale per primo sviluppò delle metodologie per lo studio delle inferenze e dei linguaggi logici che permettevano di rappresentare formalmente e di studiare matematicamente le inferenze e le proposizioni della logica.cite-ref-48[48] Inoltre, Frege fu il primo ad analizzare correttamente la regola di introduzione del quantificatore universale.cite-ref-49[49] Grazie agli studi di Frege fu possibile isolare con precisione l'ambito di studio della logica, circoscrivendolo allo studio delle inferenze tra proposizioni, e separandolo dallo studio del ragionamento corretto e dell'argomentazione.cite-ref-50[50]

Un ulteriore contributo nell'ambito della logica formale matematica è venuto infine da mwageKurt Gödel, in relazione alle ricerche volte a realizzare il programma di mwagiHilbert che chiedeva di trovare un sistema logico in cui fosse possibile provare tutte le verità della matematica. Con due suoi famosi mwagmteoremi, Gödel dimostrò che: 1) il sistema logico che formalizza l'mwagqaritmetica di Peano non è completo, perché è possibile costruire un enunciato ben formato che non è dimostrabile e di cui non è dimostrabile la negazione; 2) se un mwagusistema formale è logicamente coerente, la sua non contraddittorietà non può essere dimostrata stando all'interno del sistema logico stesso. Il significato filosofico dei teoremi di Gödel è ancora oggi oggetto di discussioni.cite-ref-51[51] Lo stesso Gödel era convinto di non avere affatto dissolto la consistenza dei sistemi logici, da lui sempre considerati platonicamente come funzioni reali dotati di pieno valore mwagoontologico, e che anzi il suo stesso teorema di incompletezza aveva una valenza di oggettività e rigore logico. Oltretutto, egli spiegava la presenza di un enunciato che affermi di essere indimostrabile all'interno di un sistema formale: significa, appunto, che esso è vero dato che non può essere effettivamente dimostrato.cite-ref-52[52]

Gödel interpretò i suoi teoremi come una conferma del mwahaplatonismo, corrente filosofica che affermava l'esistenza di formule vere ma non dimostrabili, e cioè l'irriducibilità della nozione di mwaheverità a quella di mwahidimostrabilità. In accordo con questa filosofia, la sua convinzione era che la mwahmverità, essendo qualcosa di oggettivo (cioè di indipendente dalle costruzioni effettuate nelle dimostrazioni dei teoremi), non può essere posta a conclusione di alcuna sequenza dimostrativa, ma solo all'origine. Similmente a mwahqParmenide, egli concepiva la mwahulogica "formale" come unita indissolubilmente a un contenuto "sostanziale":

«Malgrado la loro distanza dall'esperienza sensoriale, però, noi abbiamo qualcosa di analogo a una percezione anche per gli oggetti insiemistici, come si vede dal fatto che gli assiomi ci si impongono come veri. Non vedo motivi per avere meno fiducia in questa sorta di percezione, cioè nell'intuizione matematica, che nella percezione sensoriale, che ci spinge a costruire teorie fisiche e ad attenderci che le percezioni sensoriali future vi si adegueranno e, inoltre, a credere che un problema oggi non decidibile abbia senso e possa essere deciso in futuro.

»

(Kurt Gödel)

cite-note-11. ↑ mwaieIrving M. Copi, Carl Cohen e Kenneth McMahon, mwaiiIntroduction to Logic, 14ª edizione, Routledge, 2016.

cite-note-22. ↑ mwaiymwaicmwaiglògica in Vocabolario, su mwaikmwaioTreccani. mwaisURL consultato il 23 aprile 2023.

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cite-note-99. ↑ Secondo Kneale il termine mwamclogica sarebbe stato usato nel senso moderno solo a partire da mwamgAlessandro di Afrodisia (II-III secolo d.C.) (mwamkWilliam e mwamoMartha Kneale, mwamsStoria della logica, p. 33).

cite-note-1010. ↑ Nella mwam8Prefazione al suo Commento al primo libro degli mwanaAnalitica priora, cfr. Franco Volpi, mwaneDizionario delle opere filosofiche, Milano, Bruno Mondadori, 2000, pag. 78.

cite-note-1111. ↑ Secondo Rudolf Hirzel (1879) fu mwanuZenone di Cizio ad introdurre il termine λογική, in alternativa a διαλεκτικὴ (dialettica), usato da mwanySenocrate nella sua classificazione della filosofia in tre parti (dialettica, fisica, etica), Cfr. mwancSesto Empirico, mwangAdversus logicos, I, 16

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cite-note-jaspers-3030. ↑ «Il mwaxsprincipio di non-contraddizione, introdotto da Parmenide per rivelare l'essere stesso, la verità essenziale, fu successivamente impiegato come strumento del pensiero logicamente cogente per qualsiasi affermazione esatta. Sorsero così la logica e la dialettica» (K. Jaspers, mwaxwI grandi filosofi, pag. 737, trad. it., Milano, Longanesi, 1973).

cite-note-3131. ↑ Parmenide, frammento 8, v. 30, della raccolta mwayaI presocratici di Diels-Kranz.

cite-note-3232. ↑ Sarebbe stato Aristotele ad annoverare Zenone come l'iniziatore della mwayqdialettica, stando alla testimonianza di mwayuSesto Empirico (mwayyAdversus mathematicos, VII, 6-7) e di mwaycDiogene Laerzio (mwaygVite dei filosofi, VIII, 2, 57; IX, 5, 25).

cite-note-3333. ↑ «Ascoltando non me, ma il mwaywlógos, è saggio convenire che tutto è Uno» (Eraclito, mway0mway4mway8frammento 50 della raccolta Diels-Kranz.).

cite-note-3434. ↑ Bruno Marini, mwazmEraclito l'oscuro, Libreria Chiari, 2002.

cite-note-3535. ↑ Il complesso delle opere dedicate da Aristotele alla trattazione della logica è noto col nome di mwazcmwazgOrganon.

cite-note-3636. ↑ mwazwGuido Calogero, mwaz0I fondamenti della logica aristotelica, La Nuova Italia, Firenze 1968, dove si distingue nettamente l'aspetto mwaz4noetico da quello mwaz8dianoetico nella concezione gnoseologica aristotelica: mentre il mwa0anous fornisce un sapere intuitivo e immediato, la mwa0edianoia consiste in una forma inferiore di conoscenza, che si limita ad analizzare in maniera discorsiva le verità ottenute dall'attività mwa0inoetica (pag. 15 e segg.).

cite-note-3737. ↑ Trad. in Aristotele, mwa0yOpere, vol. I, Laterza, Bari, 1973, pagg. 372-373.

cite-note-3838. ↑ Le leggi della logica vengono mwa0oappercepite o intuite con la stessa immediatezza mwa0smwa0wnoetica con cui si è pervenuti alle "premesse" vere dalle quali ogni deduzione ha preso avvio, ma non sono da confondere con queste ultime (cfr. Calogero, mwa00I fondamenti della logica aristotelica, mwa04op. cit.).

cite-note-3939. ↑ Aristotele, mwa1iMetafisica, libro Γ, cap. III, 1005 b, 19-20.

cite-note-4040. ↑ «Colui che definisce, allora, come potrà dunque provare [...] l'essenza? [...] non si può dire che il definire qualcosa consista nello sviluppare un'induzione attraverso i singoli casi manifesti, stabilendo cioè che l'oggetto nella sua totalità deve comportarsi in un certo modo [...] chi sviluppa un'induzione, infatti, non prova cos'è un oggetto, ma mostra che esso è, oppure che non è. In realtà, non si proverà certo l'essenza con la sensazione, né la si mostrerà con un dito [...] oltre a ciò, pare che l'essenza di un oggetto non possa venir conosciuta né mediante un'espressione definitoria, né mediante dimostrazione» (Aristotele, mwa1yAnalitici secondi II, 7, 92a-92b).

cite-note-4141. ↑ mwa1oPaolo Scroccaro, mwa1smwa1wIntuizione intellettuale, induzione e scienza dimostrativa in Aristotele, su mwa10estovest.net. mwa14URL consultato il 9 ottobre 2017 mwa18(archiviato dall'mwa2aurl originale il 23 luglio 2013).

cite-note-4242. ↑ È stato contestato tuttavia che la logica stoica potesse approdare a forme di conoscenza più valide di quelle già enunciate magistralmente da Aristotele (cfr. G. Calogero, alla voce "Logica", mwa2qEnciclopedia Italiana, vol. XXI, pag. 394).

cite-note-4343. ↑ «Come per mwa2gSocrate, mwa2kPlatone, mwa2oAristotele, per gli mwa2sstoici la scienza non è sensazione, ossia un'impressione provocata dalle cose esterne sui nostri organi di senso, e nemmeno una semplice impressione dell'anima [...]: la scienza è "criterio di verità"» (Emanuele Severino, mwa2wEpicureismo e stoicismo, pag. 233, in mwa20La filosofia antica e medievale, BUR, Milano 2004).

cite-note-4444. ↑ La correttezza formale di un ragionamento logico è infatti per Kant condizione necessaria, ma non sufficiente, della sua verità; esso andava completato pertanto da un'indagine mwa3etrascendentale sul suo contenuto (cfr. mwa3imwa3mmwa3qmwa3uKant: la costruzione dei concetti, di Giuseppe Bailone).

cite-note-hosle-4545. ↑ Cfr. intervista a mwa3sVittorio Hösle, mwa3wmwa30mwa34Copia archiviata, su mwa38emsf.rai.it. mwa4aURL consultato il 19 gennaio 2013 mwa4e(archiviato dall'mwa4iurl originale il 4 marzo 2016).

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cite-note-5252. ↑ «A dispetto delle apparenze, una tale proposizione non contiene circoli viziosi, poiché inizialmente essa afferma [soltanto] che una certa formula ben definita (cioè quella ottenuta dalla q-esima formula, secondo l'ordine lessicografico, mediante una certa sostituzione) non è dimostrabile. Solo successivamente (e in un certo senso per caso) vien fuori che questa formula è precisamente quella mediante la quale era stata espressa la proposizione stessa» (Gödel, mwa8mÜber formal unentscheidbare Sätze der Principia Mathematica und verwandter Systeme (1931), nota 15, trad. it. di E. Ballo, mwa8qProposizioni formalmente indecidibili dei "Principia mathematica" e di sistemi affini I, in mwa8uOpere. Volume I, 1929-1936, Torino, Bollati Boringhieri, 1999, pag. 116).

cite-note-531. Kurt Gödel, mwa8kChe cos'è il problema del continuo di Cantor? (1947), supplemento alla seconda edizione (1964), trad. it. di C. Mangione, mwa8oOpere. Volume II, 1938-1974, Torino, Bollati Boringhieri, 2002, pag. 266.

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• William e Martha Kneale, mwa9uStoria della logica, a cura di Amedeo G. Conte, Torino, Einaudi, 1972.

• mwa9cI presocratici. Prima traduzione integrale con testi originali a fronte delle testimonianze e dei frammenti di mwa9gHermann Diels e mwa9kWalther Kranz, a cura di mwa9oGiovanni Reale, Milano, Bompiani, 2006.

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